Question

6．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
（3）如图3，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

Answer 1

分析 （1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验--分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．

解答 解：（1）如图2作图，
；
（2）如图3 ①、②作△ABC．
；
①当AD=AE时，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°．                              
②当AD=DE时，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°．                     
（3）如图4，

CD、AE就是所求的三分线．            
设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4}$，
∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{3}{x}$=$\frac{x+y}{3}$，
所以联立得方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{x}=\frac{x+y}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{7}\sqrt{21}}\\{y=\frac{4}{7}\sqrt{21}}\end{array}\right.$，
即三分线长分别是$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$和$\frac{4}{7}$$\sqrt{21}$．

点评 此题考查相似形的综合题，三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，掌握相似三角形的判定与性质，根据成比例的线段联立方程解决问题．