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    如图，O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），过O且互相垂直的两条直线被矩形四边所截，设截得的线段EF和GH长度分别为x，y，四边形EGFH的面积为S，当这两条直线保持垂直且围绕O点不停旋转时，下列说法正确的是（　　）
    ①某一阶段，y随x的增大面增大，y是x的正比例函数
    ②某一阶段，y随x的增大面减小，y是x的反比例函数
    ③仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大
    ④仅当四边形EGFH的两条对角线长度相等时，S最小．
    A、①②B、①③
    C、①②③D、①③④
    考点：反比例函数综合题
    专题：综合题
    分析：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，连结EG、GF、FH、HE，由EF⊥GH得∠2+∠OQG=90°，由EM⊥GN得∠1+∠EQP=90°，则∠1=∠2，可判断Rt△EMF∽Rt△GNH，利用相似比得到
    x
    y
    =
    EM
    GN
    ，而EM=AB，GN=BC，则y=
    BC
    AB
    •x，所以y是x的正比例函数，可对①②进行判断；由AB＜BC可对④进行判断；根据O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH过点O，且互相垂直得EF互相垂直平分，于是得到四边形EGFH为菱形，则S菱形EGFH=
    1
    2
    EF•GH=
    BC
    2AB
    •x2，根据二次函数的性质，当x＞0时，S随x的增大而增大，而x的最大值为矩形的对角线，所以当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大，则可对③进行判断．
    解答：解：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，EM与GN相交于P点，EF与GN交于Q点，如图，
    ∵EF⊥GH，
    ∴∠2+∠OQG=90°，
    ∵四边形ABCD为矩形，
    ∴GN∥BC，
    ∴EM⊥GN，
    ∴∠1+∠EQP=90°，
    ∴∠1=∠2，
    ∴Rt△EMF∽Rt△GNH，
    ∴
    EF
    GN
    =
    EM
    GN
    ，即
    x
    y
    =
    EM
    GN
    ，
    易得EM=AB，GN=BC，
    ∴
    x
    y
    =
    AB
    BC
    ，
    ∴y=
    BC
    AB
    •x，所以①正确，②错误；
    ∵AB＜BC，
    ∴x与y不相等，所以④错误；
    ∵O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH过点O，且互相垂直，
    ∴EF互相垂直平分，
    ∴四边形EGFH为菱形，
    ∴S菱形EGFH=
    1
    2
    EF•GH=
    1
    2
    x•y=
    1
    2
    x•
    BC
    AB
    •x=
    BC
    2AB
    •x2，
    当x＞0时，S随x的增大而增大，而x的最大值为矩形的对角线，
    ∴仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大，所以③正确．
    故选B．
    点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数和正比例函数的定义和性质、二次函数的性质、矩形的性质和菱形的判定与性质；会运用相似三角形的知识解决线段之间的关系．
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    AC
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    °．

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    k
    x
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    ．

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    B、
    		12
    =2
    		3
    C、4
    		3
    -2
    		3
    =2
    D、-3-8=-11

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    B、1.91×1010元
    C、1.91×109元
    D、1.91×1012元

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    1
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