Question

【题目】阅读以下内容解答下列问题．

七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：

（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．

（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．

①求式子中m、n的值；

②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．

Answer 1

【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．

【解析】

（1）根据材料回答即可；

（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值；

②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解.

解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，

故答案为：降次；

（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，

令x＝0，可得：，解得：n=-5，

令x=1，可得：，

解得：m=﹣3，

故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；

②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，

则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，

同①方法可得：a＝4，b＝4，

所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），

＝（x+1）（x+2）2．