【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8,
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.
(2)以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的最小值.
【答案】(1)m≥2;(2)△AMN是边长为2 的正三角形,S△AMN=3,与m无关;(3)m=2.
【解析】试题分析:(1)求出二次函数的对称轴x=m,由于抛物线的开口向上,在对称轴的左边y随x的增大而减小,可以求出m的取值范围.
(2)在抛物线内作出正三角形,求出正三角形的边长,然后计算三角形的面积,得到△AMN的面积是m无关的定值.
(3)当y=0时,求出抛物线与x轴的两个交点的坐标,然后确定整数m的值.
试题解析:(1)二次函数y=x2-2mx+4m-8的对称轴是:x=m.
∵当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,
而x≤2应在对称轴的左边,
∴m≥2.
(2)如图:顶点A的坐标为(m,-m2+4m-8)
△AMN是抛物线的内接正三角形,
MN交对称轴于点B,tan∠AMB=tan60°=,
则AB=BM=BN,
设BM=BN=a,则AB=a,
∴点M的坐标为(m+a, a-m2+4m-8),
∵点M在抛物线上,
∴a-m2+4m-8=(m+a)2-2m(m+a)+4m-8,
整理得:a2-a=0
得:a=(a=0舍去)
所以△AMN是边长为2的正三角形,
S△AMN=×2×3=3,与m无关;
(3)当y=0时,x2-2mx+4m-8=0,
解得:,
∵抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,
∴(m-2)2+4应是完全平方数,
∴m的最小值为:m=2.
考点: 二次函数综合题.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将△ABC向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;并写出顶点A1、B1、C1各点的坐标;
(2)计算△A1B1C1的面积。
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【题目】如图,已知:在中, ,.
(1)按下列步骤用尺规作图(保留作图痕迹,不写出作法):作的平分线AD,交BC于D;
(2)在(1)中,过点D作,交AB于点E,若CD=4,则BC的长为 .
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【题目】已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为x1 ,x2 ,且x12+x22=10,求实数a的值.
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【题目】某课题小组为了了解某品牌电动自行车的销售情况,对某专卖店第一季度该品牌A、B、C、D四种型号的销售做了统计,绘制成如下两幅统计图(均不完整)
(1)该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆?
(2)把两幅统计图补充完整;
(3)若该专卖店计划订购这四款型号的电动自行车1800辆,求C型电动自行车应订购多少辆?
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【题目】如图,AD是圆O的切线,切点为A,AB是圆O的弦。过点B作BC//AD,交圆O于点C,连接AC,过点C作CD//AB,交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且BCP=ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系,并说明理由:
(2) 若AB=9,BC=6,求PC的长。
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【题目】如图,水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°.
(1)求坝底AD的长度(结果精确到1米);
(2)若坝长100米,求建筑这个大坝需要的土石料(参考数据: )
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【题目】阅读以下内容解答下列问题.
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根,也知道了开方运算是乘方的逆运算,实际上乘方运算可以看做是“升次”,而开方运算也可以看做是“降次”,也就是说要“升次”可以用乘方,要“降次”可以用开方,即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数.本学期我们又学习了整式乘法和因式分解,请回顾学习过程中的法则、公式以及计算,解答下列问题:
(1)对照乘方与开方的关系和作用,你认为因式分解的作用也可以看做是 .
(2)对于多项式x3﹣5x2+x+10,我们把x=2代入此多项式,发现x=2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0,由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式(x﹣2),(注:把x=a代入多项式,能使多项式的值为0,则多项式一定含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式写成:x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n),分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n),就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解,这种因式分解的方法叫“试根法”.
①求式子中m、n的值;
②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4.
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