Question

【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P．

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；

（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣； P（1，﹣2），C（3，0）（2）D（，0）（3）存在

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出的值后可求出该函数的解析式；
（2）证明利用线段比求出各相关线段的值后易求点的坐标；
（3）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，推出是等腰直角三角形，M是的内切圆圆心，根据直线与圆的关系进行解答．

试题解析：(1)∵二次函数的图象过点A(3,6),B(1,0)，

得

解得

∴这个二次函数的解析式为：

由解析式可求P(1,2),C(3,0),

画出二次函数的图象;

(2)解法一：

易证：

又已知：∠DPC=∠BAC，

∴△DPC∽△BAC,

易求

解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E，

设抛物线的对称轴交x轴于F，

亦可证△AEB∽△PFD,

易求：AE=6，EB=2，PF=2，

(3)存在.

①过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T，

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，

∴MG=MH=OM,

又且OM+MC=OC，

得

②在x轴的负半轴上,存在一点M′，

同理OM′+OC=M′C,

得

即在x轴上存在满足条件的两个点.