Question

【题目】如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：BF=DF；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．

①求证：四边形BFDG是菱形；

②若AB=3，AD=4，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．

【解析】

（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠性质设未知边，构造勾股定理列方程求解．

（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，

又AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠DBE=∠ADB，

∴DF=BF；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形，

∵DF=BF，

∴四边形BFDG是菱形；

②∵AB=3，AD=4，

∴BD=5．
∴OB=BD=．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x=，
即BF=，
∴由勾股定理得，FO=，
∴FG=2FO=．