Question

【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC()，若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC=______度；

（2）如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；

（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．

Answer 1

【答案】（1）72° （2）证明见解析；（3）135°或112.5°或140°．

【解析】试题分析：（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．

试题解析：（1）证明：如图1中，

∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一条特异线．

（2）如图2中，

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=CB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．

如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°-20°-20°=140°

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．