Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，CE交AB于点G，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．

（Ⅰ）求∠CPA的度数；

（Ⅱ）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接AE，由OA=OB且OE⊥AB知∠OEG+∠AEC=45°，再证∠OEG=∠BAP、∠AEC=∠ABP，在△ABP中利用三角形外角性质可得答案；

（Ⅱ）由切线性质及∠D=30°可得∠AOC=∠OAC=60°，在Rt△ABC中求得BC=3，由∠APC=45°、∠ACP=90°得CP=AC=，可知BP=3﹣，证OF为△ABP中位线可得答案．

解：（Ⅰ）如图，连接AE，

∵OE⊥AB，OA=OE，

∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，

∴∠OEG+∠OGE=90°，

∵AF⊥CE，

∴∠AFG=90°，

∴∠FAG+∠AGF=90°，

∵∠AGF=∠OGE，

∴∠OEG=∠BAP，

∵∠AEC=∠ABC，

∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°；

（Ⅱ）连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DCO=90°，

∵∠D=30°，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴∠BAC=60°，

在Rt△ABC中，AC=，

∴BC=ACtan∠BAC=×=3，

由（1）知，AC=CP=，

∴BP=BC﹣CP=3﹣，

∵AF⊥CE，

∴AF=PF，

∵OA=OB，

∴OF=BP=．