Question

【题目】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题：

(1)sad60°＝ ；

(2)对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；

(3)如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值.

Answer 1

【答案】(1)1;(2) 0<sadA<2; (3) .

【解析】

（1）根据题意，判断三角形为等边三角形，然后根据正对的定义解答；

（2）求出0°和180°时等腰三角形底和腰的比即可；

（3）如图，在AB上取AD＝AC，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，然后求出CD的长，再根据正对的定义解答即可.

解：(1)根据题意可知，当顶角为60°时，等腰三角形底角也为60°，

则该三角形为等边三角形，

∴sad60°＝1，

故答案为1；

(2)当∠A接近0°时，sadA接近0，

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近腰长的二倍，故sadA接近2，

故sadA的取值范围为：0<sadA<2；

(3) 设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，

如图，在AB上取AD＝AC＝4a，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，

则DE＝AD·sinA＝4a·＝a，AE＝AD·cosA＝4a·＝a，

∴CE＝4a－a＝a，

∴在Rt△DCE中，

CD＝＝＝a，

∴sadA＝＝.