Question

【题目】如图，抛物线y = x2+bx+c过点A (-1，2)，且关于y轴对称，点C与点B(a，0)(a＞1)关于原点对称，直线AC交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接OA，BD，当OA//BD时，求a的值；

（3）若直线AC交抛物线于E，F两点(点E在点F的左侧)，且EA=DF，求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）y=2x+4．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴可得b的值，代入A点的坐标即可求出c的值；

（2）根据OA//BD和A点坐标可求出D点坐标，然后代入函数解析式即可解答；

（3）设A(xA，yA)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，根据EA=DF可得，xA-xE=xF-xD，xA+xD=xF+xE，根据A(-1，2)，C(-a，0)求出直线AC解析式为，然后与两个抛物线联立可得关于a的方程，解出a的值然后即可求出直线AC的解析式．

（1）∵抛物线关于y轴对称，

∴b=0，

把A (-1，2)，b=0代入y = x2+bx+c，得c=1，

∴抛物线解析式为：；

（2）∵B、C关于原点对称，B(a，0)

∴C(-a，0)，

∵OA∥BD，

∴点A是CD中点，

∵A (-1，2)，

∴D (a-2，4)，

把D (a-2，4)代入，得，

解得：，

∵a＞1，

∴；

（3）设A(xA，yA)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，

∵EA=DF，∴xA-xE=xF-xD ∴xA+xD=xF+xE，

把A(-1，2)，C(-a，0)代入求得直线AC解析式为：，

联立，得：，

∴，

∴xA+xD=，

联立，得，

∴，

∴xF+xE=，

∴=，

解得：a=2，经检验a=2是原方程的解且符合题意，

∴直线AC解析式为：y=．