【题目】如图,抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点,且B(1,0)
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线y= x﹣
分别与x轴、y轴交于C、F两点,点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE.问:以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:把B(1,0)代入y=ax2+2x﹣3,
可得a+2﹣3=0,解得a=1,
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3,
令y=0,可得x2+2x﹣3=0,解得x=1或x=﹣3,
∴A点坐标为(﹣3,0)
(2)解:若y=x平分∠APB,则∠APO=∠BPO,
如图1,若P点在x轴上方,PA与y轴交于点B′,
由于点P在直线y=x上,可知∠POB=∠POB′=45°,
在△BPO和△B′PO中
,
∴△BPO≌△B′PO(ASA),
∴BO=B′O=1,
设直线AP解析式为y=kx+b,把A、B′两点坐标代入可得
,解得
,
∴直线AP解析式为y= x+1,
联立 ,解得
,
∴P点坐标为( ,
);
若P点在x轴下方时,同理可得△BOP≌△B′OP,
∴∠BPO=∠B′PO,
又∠B′PO在∠APO的内部,
∴∠APO≠∠BPO,即此时没有满足条件的P点,
综上可知P点坐标为( ,
)
(3)解:如图2,作QH⊥CF,交CF于点H,
∵CF为y= x﹣
,
∴可求得C( ,0),F(0,﹣
),
∴tan∠OFC= =
,
∵DQ∥y轴,
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC,
∴tan∠HDQ= ,
不妨设DQ=t,DH= t,HQ=
t,
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形,
∴若DQ=DE,则S△DEQ= DEHQ=
×
t×t=
t2,
若DQ=QE,则S△DEQ= DEHQ=
×2DHHQ=
×
t×
t=
t2,
∵ t2<
t2,
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大.
设Q点坐标为(x,x2+2x﹣3),则D(x, x﹣
),
∵Q点在直线CF的下方,
∴DQ=t= x﹣
﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣
x+
,
当x=﹣ 时,tmax=3,
∴(S△DEQ)max= t2=
,
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为
【解析】(1)利用待定系数法把B坐标代入解析式即可;(2)由平分可得△BPO≌△B′PO或△BOP≌△B′OP,连立y=x与AP的解析式可解决;(3)最值问题可利用函数思想解决,构建关于面积的函数,利用配方法解决.
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.
例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由图2,可得等式 ;
(2)利用(1)所得等式,解决问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如图3,将两个边长为a、b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长a、b如图标注,且满足a+b=10,ab=20.请求出阴影部分的面积.
(4)图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片,现有足量的这三种纸片.
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形,并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b;
②研究①拼图发现,可以分解因式2a2+5ab+2b2= .
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【题目】如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4.
(1)求证:△ABE∽△ADB;
(2)求tan∠ADB的值;
(3)延长BC至F,连接FD,使△BDF的面积等于8 ,求证:DF与⊙O相切.
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【题目】本学期学习了一元一次不等式的解法,下面是甲同学的解题过程:
解不等式.
解:不等式两边同时乘以4,得:
去分母,得:
去括号,得:
移项,得:
合并同类项,得:
系数化1,得:
不等式的解集在数轴上表示为:
上述甲同学的解题过程从第___步开始出现错误,错误的原因是____.请帮甲同学改正错误,写出完整的解题过程,并把正确解集在数轴上表示出来.
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【题目】国家规定,中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时,为了解这项政策的落实情况,有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题,在某校随机抽查了部分学生,再根据活动时间t(小时)进行分组(A组:t<0.5,B组:0.5≤t<1,C组:1≤t<1.5,D组:t≥1.5),绘制成如下两幅不完整统计图,请根据图中信息回答问题:
(1)此次抽查的学生数为人;
(2)补全条形统计图;
(3)从抽查的学生中随机询问一名学生,该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是;
(4)若当天在校学生数为1200人,请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有人.
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【题目】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,CB=5,动点M从C点开始沿CB运动,动点N从B点开始沿BA运动,同时出发,两点均以1个单位/秒的速度匀速运动(当M运动到B点即同时停止),运动时间为t秒.
(1)AN= ;CM= .(用含t的代数式表示)
(2)连接CN,AM交于点P.
①当t为何值时,△CPM和△APN的面积相等?请说明理由.
②当t=3时,试求∠APN的度数.
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【题目】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
例如:方程 的解为
,不等式组
的解集为
,因为
,所以,称方程
为不等式组
的关联方程.
(1)在方程①,②
,③
中,不等式组
的关联方程是 ;(填序号)
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是 ;(写出一个即可)
(3)若方程,
都是关于
的不等式组
的关联方程,求
的取值范围.
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【题目】为了响应“足球进校园”的号召,学校开设了足球兴趣拓展班,计划同时购买A,B两种足球30个,A,B两种足球的价格分别为50元个,80元
个,设购买B种足球x个,购买两种足球的总费用为y元.
求y关于x的函数表达式.
在总费用不超过1600元的前提下,从节省费用的角度来考虑,求总费用的最小值.
因足球兴趣拓展班的人数增多,所以实际购买中这两种足球总数超过30个,总费用为2000元,则该学校可能共购买足球______个
直接写出答案
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标;
(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.
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