Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，点A，点B从原点O出发，点A沿y轴正方向运动，点B沿x轴正方向运动，运动速度均为每秒1个单位，过点A，B分别作CA⊥y轴，CB⊥x轴，AC，BC交于点C，在同一坐标系中，一反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象如图所示，设点A，B运动的时间为t．
（1）反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与AC交于点E，当点E的横坐标为1时，求t的值；
（2）如图2，反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与AC，BC分别交于点E，F，连接EF，AB，把△ECF沿直线EF翻折180°，点C恰好落在线段AB上的D点处，试求此时t的值；
（3）如图3，若把△ECF沿直线EF翻折180°，得到△EDF，且DF，DE分别交AB于点M，N，问是否存在这样的t值，使得四边形NMFE的面积等于3？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把E的横坐标代入y=$\frac{3}{x}$中即可得到结果；
（2）根据△ECF沿直线EF翻折180°，点C恰好落在线段AB上的D点处，得到CE=DE=AE，CF=DF=BF，求得D（$\frac{1}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），E（$\frac{1}{2}$t，t），由于点E在函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，代入反比例函数的解析式即可得到结果；
（3）设OA=OB=t，由于点F在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，得到F（t，$\frac{3}{t}$），E（$\frac{3}{t}$，t），根据△ECF沿直线EF翻折180°得到△EDF，求得D（$\frac{3}{t}$，$\frac{3}{t}$），得到△BFM是等腰直角三角形，根据题意列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵y=$\frac{3}{x}$的图象与AC交于点E，点E的横坐标为1，
∴y=$\frac{3}{1}$=3，
∴E（1，3），
∴OA=OB=3，
∴t=3；

（2）∵△ECF沿直线EF翻折180°，点C恰好落在线段AB上的D点处，
∴CE=DE=AE，CF=DF=BF，
∴D（$\frac{1}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），E（$\frac{1}{2}$t，t），∵点E在函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴$\frac{1}{2}$t•t=3，
解得：t=$\sqrt{6}$；

（3）设OA=OB=t，
∴B（t，0），A（0，t）
∵点F在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴F（t，$\frac{3}{t}$），E（$\frac{3}{t}$，t），
∵△ECF沿直线EF翻折180°得到△EDF，
∴CF=DF=DE=CE，
∴D（$\frac{3}{t}$，$\frac{3}{t}$），
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OBA=∠ABF=45°，
∴△BFM是等腰直角三角形，
∴MF=BF=$\frac{3}{t}$，
∴M（t-$\frac{3}{t}$，$\frac{3}{t}$），
∴DM=DN=t-$\frac{3}{t}$-$\frac{3}{t}$=t-$\frac{6}{t}$，
当四边形NMFE的面积等于3时，
∴S_△DEF-S_△DMN=3，
即$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{t}$）²-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{6}{t}$）²=3，
∵此方程无解，
∴不存在这样的t值，使得四边形NMFE的面积等于3．

点评 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，图形的变换-翻折，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．