Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$-\frac{3}{4}$x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）则A、B两点的坐标分别为：A（4，0），B（0，3）．（直接写答案，不需要写过程）
（2）如果⊙P与x轴、y轴、直线AB都相切，则这样的⊙P共有3个，其中最小的圆的半径为1．（直接写答案，不需要写过程）
（3）如果点C（m，n）在第二象限，以点C（m，n）为圆心的⊙C与直线AB相切，与x轴相切于点E，
①若四边形CEOB为矩形，求C点的坐标；
②求m与n之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）因为直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，所以分别令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3）；
（2）在一、二、四三个象限中都有与坐标轴相切的三个圆，在第一象限内最小，利用圆的内切圆的半径的求法求得半径即可；
（3）①根据点A和点B的坐标得到OA=4，OB=3，AB=5，连接CF，当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，利用两直线平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因为⊙C与直线AB相切于点F，所以CF⊥AB于点F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即点C的坐标为（-5，3）；
②因为点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F，所以可延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，因为⊙C与x轴相切于点E，所以GE⊥AE于点E，EG∥y轴，∠CGF=∠OBA，所以可证△FCG∽△OAB，$\frac{CF}{OA}$=$\frac{CG}{AB}$，即CG=$\frac{5}{4}$n，又因GE=CG+CE=$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$n，AE=OA+OE=4-m，利用tan∠EAG=tan∠BAO，即可得到关于m、n的关系式$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$=$\frac{3}{4}$，整理即可；

解答 解：（1）如图1，
当x=0时，y=3；
当y=0时，x=4；
∴A（4，0），B（0，3）；

（2）如果⊙P与x轴、y轴、直线AB都相切，
则这样的⊙P共有3个，其中最小的圆是在第一象限时，
此时⊙P是△AOB的内切圆，半径为$\frac{3+4-5}{2}$=1；

（3）①∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接CF，
当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C与直线AB相切于点F，
∴CF⊥AB于点F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴点C的坐标为（-5，3）；
②如图1，延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，
∵⊙C与x轴相切于点E，
∴GE⊥AE于点E，
∴EG∥y轴，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴$\frac{CF}{OA}$=$\frac{CG}{AB}$，
∴CG=$\frac{5}{4}$n，
又∵GE=CG+CE=$\frac{5}{4}$n+n=$\frac{9}{4}$n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG=$\frac{GE}{AE}$=$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{ON}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$=$\frac{3}{4}$，
∴m=4-3n；

点评 本题考查了矩形的性质和判定，一次函数的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，切线长定理，切线的性质，坐标与图形性质等知识点的运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．