Question

【题目】某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x，现有甲、乙两种改造方案.

甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用由材料费和施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2500元，（利润=生产营销利润-改造支出费用）.设甲方案的利润为（元），经过统计，得到如下数据：

改造设备台数x（台）	20	40
利润（元）	9500	5500

乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，但改造支出费用与x之间满足函数关系式：（a为常数，），且在使用过程中一共还需支出维护费用，（利润=生产营销利润-改造支出费用-维护费用）.设乙方案的利润为（元）.

（1）分别求出，与x的函数关系式；

（2）若，的最大值相等，求a的值；

（3）如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）；（3）①时，选择甲方案获得的利润较大；②当，选甲方案或乙方案获得的利润相同；③时，选择乙方案获得的利润较大.

【解析】

（1）设材料费，施工费，根据题意得到与x的函数关系式，将x及的对应值代入求出m、n即可；根据题意即可列得与x的函数关系式；

（2）将（1）的化为顶点式解析式即可得到的最大值，由，的最大值相等，即可求出答案；

（3）将x=30代入、，再分三种情况求解即可.

解：（1）设材料费，施工费,

由题意，得

∵时，；时，，

∴，

解得，

∴.

；

（2）∵，∴的最大值为10000.

∵，的最大值相等，

∴，解得，.

∵，

∴；

（3）当时，；；

①当时，解得，即时，选择甲方案获得的利润较大；

②当时，解得，选甲方案或乙方案获得的利润相同；

③当时，解得，即时，选择乙方案获得的利润较大.