Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点O及点A（4，0）和点B（-2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线y=-2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过B点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移6个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线y=-2x至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线y=-2x的最短距离是多少？

Answer 1

分析 （1）首先由抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，得出c=0，那么抛物线的解析式为y=ax²+bx，再把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax²+bx，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）先由“上加下减”的平移规律得出直线l的解析式为y=-2x-n，将点B（-2，3）代入，求出n=1，那么直线l的解析式为y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到点D（0，-1）是线段BE的中点．由CE=CB=5，PB=PE，得出点P是直线CD与该抛物线的交点．再用待定系数法求出CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，将它与抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）由“上加下减”的平移规律得出新抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x+6．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，将y=-2x+t代入y=$\frac{1}{4}$x²-x+6，得$\frac{1}{4}$x²+x+6-t=0，由△=1²-4×$\frac{1}{4}$（6-t）≥0，求出t≥5，那么t的最小值即为所求；
②先求出新抛物线与直线y=-2x+5的交点坐标为（-2，9），根据题意得出点Q坐标为（-2，9）时，到直线y=-2x的距离最短．过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．用待定系数法求出直线RQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+10，将它与y=-2x联立得到方程组，解方程组求出R（-4，8），再根据两点间的距离公式求出RQ的长即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，
∴c=0，即抛物线的解析式为y=ax²+bx，
把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax²+bx，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{4a-2b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x；

（2）如图1，将直线y=-2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，则直线l的解析式为y=-2x-n，
∵直线l过点B（-2，3），
∴-2×（-2）-n=3，
解得n=1，
∴直线l的解析式为y=-2x-1，
∴D（0，-1）．
∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x的对称轴为x=2，
∴C（2，0），E（2，-5）．
∴点D（0，-1）是线段BE的中点．
又∵CE=CB=5，
∴CD垂直平分BE．
∵PB=PE，
∴点P是直线CD与该抛物线的交点．
设直线CD的解析式为y=kx+m．
将D（0，-1）、C（2，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{2k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-1\\ y=\frac{1}{4}{x^2}-x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3+\sqrt{5}\\{y_1}=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为P₁（3-$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₂（3+$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；

（3）将抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x向上平移6个单位得到新抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x+6．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，
将y=-2x+t代入y=$\frac{1}{4}$x²-x+6，得$\frac{1}{4}$x²+x+6-t=0，
则△=1²-4×$\frac{1}{4}$（6-t）≥0，
解得t≥5，
即直线y=-2x至少向上平移5个单位才能与新抛物线有交点；

②由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+5}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=9}\end{array}\right.$，
即点Q坐标为（-2，9）时，到直线y=-2x的距离最短．
如图2，过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．
设直线RQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+p，
将Q（-2，9）代入，得9=$\frac{1}{2}$×（-2）+p，
解得p=10，
则直线RQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+10．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+10}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
即R（-4，8），
又Q（-2，9），
所以RQ=$\sqrt{（-2+4）^{2}+（9-8）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故新抛物线上的动点Q到直线y=-2x的最短距离是$\sqrt{5}$．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线与直线的平移规律，线段垂直平分线的判定，两函数交点坐标的求法，互相垂直的两条直线斜率之积为-1，二次函数与一元二次方程的关系，点到直线的距离的求法，两点间的距离公式等知识，综合性较强．利用数形结合与方程思想是解题的关键．