Question

11．如图1，△ABC中，点A、B、C三点的坐标分别为A （-1，2$\sqrt{3}$），B （-3，0），C （-1，0）；如图2，将△ABC绕点C顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△DEC，点A和点D对应，作EF⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为F点和G点．
（1）当∠α=30°时，求D、E两点的坐标；
（2）当∠α为何值时，△DEC、△EFC和△DCG都相似；
（3）在旋转过程中，若抛物线经过D、E、C三点，请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知CE=BC=2，∠ECF=30°，进而可求出EF，CF的长，所以点E的坐标可求出；同理即可求出点D的坐标；
（2）若使△DEC、△EFC和△DCG都相似，则旋转角不确定，所以要分四种情况分别讨论：当∠α=30°时，当∠α=60°时，当∠α=120°时，当∠α=150°时；
（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点 E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴，易求E（-2，$\sqrt{3}$）、D（2，$\sqrt{3}$），设y=ax²+c，代入C （-1，0）、D（2，$\sqrt{3}$），求出a和c的值即可得到抛物线解析式．

解答 解：（1）∵点A、B、C三点的坐标分别为A （-1，2$\sqrt{3}$），B （-3，0），C （-1，0），
∵AC=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转∠α=30°得△DEC，点A和点D对应，
∴CE=BC=2，∠ECF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1，FC=$\sqrt{3}$，
∴FC=1+$\sqrt{3}$
∴E（-1-$\sqrt{3}$，1），
同理可得：点D（-1+$\sqrt{3}$，3）；
（2）①如图2，当∠α=30°时，△DEC、△EFC和△DCG都相似．
理由如下：
∵A（-1，2$\sqrt{3}$），B（-3，0），C（-1，0），
∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，
∴AB=4，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
∴△DEC中，∠EDC=30°，∠DEC=60°，∠ECD=90°，
∵∠ECF=30°，∠ECD=90°，
∴∠DCG=60°，
∴∠CDG=30°，
∴在△DEC、△EFC和△DCG中：∠EDC=∠ECF=∠CDG=30°，
∠ECD=∠EFC=∠CGD=90°，
∴△DEC∽△CEF∽△DCG．
同理可得以下三种情况：
②如图3，当∠α=60°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；
③如图4，当∠α=120°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；
④如图5，当∠α=150°时，△DEC∽△CEF∽△DCG．
（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点 E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴．
易求：E（-2，$\sqrt{3}$）、D（2，$\sqrt{3}$），
设y=ax²+c，代入C （-1，0）、D（2，$\sqrt{3}$），得$\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 4a+c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ c=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，用到的知识点有旋转的性质、勾股定理的运用、特殊角的锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质、利用待定系数法求二次函数的解析式，此题的难点在（2）小问，解题的关键是运用分类讨论的数学方法，做到对问题的答案不重不漏．