Question

19．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC=2∠CBE，交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：∠CBE=∠CAF；
（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由BC切⊙O于点B，得到∠ABF+∠CBE=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠ABF+∠BAF=90°，通过等量代换得到∠CBE=∠BAF，由已知条件∠BAC=2∠CBE，得到∠BAF+∠CAF=2∠CBE于是得到结论∠CBE=∠CAF；
（2）连接BD，证明△BED≌△BEG，得到ED=EG，由于∠C=∠CEG=45°，得到EG=CG=1，CE=$\sqrt{2}$，解直角三角形即可求得结果．

解答 解：（1）证明：BC切⊙O于点B，
∴∠ABF+∠CBE=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBE=∠BAF．
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE，
即∠CBE=∠CAF；

（2）如图，连接BD，
∵EG⊥BC于点G，
∴∠CBE+∠BEG=90°，
∵∠CAF+∠AEF=90°，
∴∠BEG=∠AEF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠BGE=90°，
∵BE=BE，
在△BED与△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠AEF}\\{∠BDE=∠BGE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BEG，
∴ED=EG，
∵∠C=∠CEG=45°，
∴EG=CG=1，CE=$\sqrt{2}$，
∴DE=1，
∴CD=1+$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，
∴∠BAC=45°，
∴AD=BD=CD=1+$\sqrt{2}$，
∴AB=2+$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．