Question

7．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC=50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：EG=BC；
（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：AE+BG=$\sqrt{3}$EG．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以补全图形；
（2）连接BE，根据已知条件和图形可以证明△GEB≌△CBE，得到答案；
（3）根据△GEB≌△CBE，得到EC=BG，EG=BC，根据等腰三角形的性质和∠BAC=30°，求出AB和BC的关系，得到答案．

解答 解：（1）补全图形，如图1所示：

（2）证明：连接BE，如图2：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠DCB=60°．
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠DCA=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
又∠DEC=50°，∠EDC=100°，
由菱形的对称性可知，
∠EBC=100°，
∠BEC=50°，则∠GEB=100°，
∴∠GEB=∠CBE．
∵∠FBC=50°，∴∠GBE=50°，
∴∠EBG=∠BEC．
在△GEB与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}∠GEB=∠CBE\\ BE=EB\\∠EBG=∠BEC\end{array}\right.$
∴△GEB≌△CBE．
∴EG=BC．
（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC，
∴AE+BG=AC，
在三角形ABC中，BA=BC，∠BAC=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∴AE+BG=$\sqrt{3}$EG．

点评 本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答．