Question

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、点C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA，OC的长分别是方程x²-7x+12=0的两根（OA＜OC）．P为直线AB上一动点，直线PQ⊥OP交直线BC于点Q．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l．求出l关于m的函数解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点D，使以O、P、Q、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程求出线段的长度，利用矩形的性质得到AB=4，BC=3，求得B（4，3）；
（2）因为点P在线段AB上，点P的横坐标为m，用m表示出AP的长度，利用相似三角形的性质列出比例式求出l关于m的函数解析式；
（3）如图，过点D作DE⊥OC于E，由以O、P、Q、D为顶点的四边形为正方形，得到OP=PQ=OD，通过三角形全等，对应边相等求得AP=m=1，再根据另一对三角形全等得到点D的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-7x+12=0得：x₁=3，x₂=4，
∴OA=3，OC=4，
∴A（0，3），C（4，0），
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=4，BC=3，
∴B（4，3）；

（2）点P在线段AB上，点P的横坐标为m，
∴AP=m，
∵CQ=l，
∴BQ=3-l，
∵∠OAP=∠B=∠OPQ=90°，
∴∠APO+∠BPQ=∠APO+∠AOP=90°，
∴∠APO=∠BPQ，
∴△APO∽△BPQ，
∴$\frac{AP}{BQ}$=$\frac{AO}{PB}$，
即$\frac{m}{3-l}$=$\frac{3}{4-m}$，
∴l=$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+3；

（3）存在，
如图，过点D作DE⊥OC于E，
∵四边形ODQP是正方形，
∴OP=PQ=OD，
在△AOP与△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠BPQ}\\{∠OAP=∠B}\\{PO=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
∴PB=OA=3，
∴AP=BP=1，
在△AOP与△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠EOD}\\{∠OAP=∠OED}\\{OP=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△OEP（AAS），
∴OE=AO=3，DE=AP=1，
∴D（3，-1）．

点评 本题考查了在平面直角坐标系中求点的坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，特别是（3）正确的画出图形是解题的关键．