Question

5．若点M、N是一次函数y₁=-x+5与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论：①一次函数y₁=-x+5的图象不经过第三象限；②点N的纵坐标为1；③若将一次函数y₁=-x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；④当1＜x＜4时，y₁＜y₂．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据一次函数的性质即可判断①；利用待定系数法求得M的坐标，进而求得N的坐标，即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④．

解答 解：由一次函数y₁=-x+5可知，一次函数y₁=-x+5的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；
故①正确；
∵点M的横坐标为1，
∴y=-1+5=4，
∴M（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数y₂=$\frac{4}{x}$（k≠0，x＞0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴N的纵坐标为1，
故②正确；
将一次函数y₁=-x+5的图象向下平移1个单位长度，则函数的解析式为y=-x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴将一次函数y₁=-x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；
故③正确；
∵M（1，4），N（4，1），根据图象可知当1＜x＜4时，一次函数图象部分在反比例函数图象的上方，所以y₁＞y₂．
故④错误．
故选B．

点评 本题考查了一次函数和二次函数的交点坐标，其知识点有：待定系数法求解析式，平移的性质以及交点的求法等．