Question

15．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，OF是∠AOD的平分线．
（1）已知∠BOD=60°，求∠EOF的度数；
（2）求证：无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．

Answer 1

分析 （1）根据∠BOD的度数可得∠AOD的度数，再根据角平分线定义可得∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°，进而可得∠EOF=∠DOF+∠DOE=90°；
（2）首先根据角平分线定义可得∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根据邻补角定义可得∠AOD+∠DOB=180°，利用等量代换可得∠EOF=∠DOF+∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOD）=90°．

解答 解：（1）∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=120°，
∵OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线．
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=90°；

（2）∵OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线．
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOD）=90°，
∴无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．

点评 此题主要考查了垂线，以及角平分线定义，关键是理清角之间的关系，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．