Question

5．如图，在△ABC中，点E，F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，∠EAF=90°，BC=12，EF=5．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求S_△EAF．

Answer 1

分析 （1）先根据线段垂直平分线的性质得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，再由三角形内角和定理得出∠BEA+∠CAF=45°，由∠BAC=∠BEA+∠EAF+∠CAF即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得出EB=EA，FA=FC，根据EA•FA的值即可得出结论．

解答 解：（1）∵EM垂直平分AB，
∴∠B=∠BAE．
∵FN垂直平分AC，
∴∠C=∠CAF．
∵∠B+∠BAE+∠EAF+∠C+∠CAF=180°，∠EAF=90°，
∴2∠BEA+2∠CAF=90°，
∴∠BEA+∠CAF=45°，
∴∠BAC=∠BEA+∠EAF+∠CAF=45°+90°=135°；

（2）∵EM垂直平分AB，
∴EB=EA．
∵FN垂直平分AC，
∴FA=FC．
∵BC=12，EF=5，
∴EA+FA=12-5=7．
∵EF=5，∠EAF=90°，
∴EA²+FA²=（EA+FA）²-2EA•FA=EF²=25，
∴$\frac{1}{2}$EA•FA=6，
∴S_△EAF=6．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．