Question

4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG=1，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，则$\frac{FH}{CH}$=（　　）

• A． 1：1
• B． 1：$\sqrt{2}$
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1：2

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，得到∠B=∠ADC=∠BCD=∠CDG=90°，BC=CD，推出△BCE≌△CDG，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，CE=CG，证得△ECG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CH=EH=HG，通过△FGH∽△AGE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BCD=∠CDG=90°，BC=CD，
在△BCE与△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDG，
∴∠1=∠2，CE=CG，
∴∠ECG=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵CF⊥EG，
∴CH=EH=HG，
∵AB=AD=3，BE=CD=1，
∴AE=2，AG=4，
∵∠A=∠GHF=90°，∠FGH=∠AGE，
∴△FGH∽△AGE，
∴$\frac{FH}{CH}=\frac{AE}{AG}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FH}{CH}$=$\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质．正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CG构造全等三角形是解题的关键．