Question

如图，AE为⊙O的直径，EF为⊙O的切线，E为切点，连接AF交⊙O于点C，CB∥EF交AE于H交⊙O于B，D为BC弧上一点，连接AD交BC于G．
（1）求证：AD平分∠BDC；
（2）若BC垂直平分OE，BD=2，DC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质，由EF为⊙O的切线得到AE⊥EF，而BC∥EF，根据平行线的性质得AE⊥BC，根据垂直定理得

AB

=

AC

，然后根据圆周角得到∠ADB=∠ADC；
（2）连接AB，作BM⊥CD于M，如图，由于BC垂直平分OE易得OH=

1

2

OB，所以∠OBH=30°，可计算出∠BOH=60°，根据圆周角定理得∠BAC=60°，在根据圆内接四边形的性质得∠BDM=∠BAC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得DM=

1

2

BD=1，BM=

3

DM=

3

，然后在Rt△BCM中根据勾股定理计算BC的长．

解答：（1）证明：∵EF为⊙O的切线，
∴AE⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AE⊥BC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ADB=∠ADC，
即AD平分∠BDC；
（2）解：连接AB，作BM⊥CD于M，如图，
∵BC垂直平分OE，
∴OH=EH，
∴OH=

1

2

OB，
∴∠OBH=30°，
∴∠BOH=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BDM=∠BAC=60°，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=30°，
∴DM=

1

2

BD=1，BM=

3

DM=

3

，
在Rt△BCM中，∵CM=CD+DM=4+1=5，BM=

3

，
∴BC=

BM2+CM2

=2

7

．
∴BH=

7

，
设OH=x，则OB=2x，
∴x²+（

7

）²=（2x）²，
∴x=

21

3

，
∴半径为：

2 21

3

．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理．