Question

如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D为AB上任意一点，过A、C分别作AB、CD的垂线相交于点E，tanB=

5

2

，
（1）求证：△AEC∽△BDC；
（2）求S_△AEC：S_△BDC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）欲证明△AEC∽△BDC，只需证明∠EAC=∠B，∠ECA=∠BCD．
（2）利用相似三角形面积的比等于其相似比的平方，结合直角三角形的边角关系即可解决问题．

解答：解（1）∵AE⊥AB，AC⊥BC，
∴∠EAC+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，
故∠EAC=∠B；
又∵CE⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD，故∠ECA=∠BCD；
而∠EAC=∠B，
∴△AEC∽△BDC．
（2）∵△AEC∽△BDC，
∴S

S△AEC

S△BDC

=(

AC

BC

)2；
而tanB=

AC

BC

=

5

2

，
∴

S△AEC

S△BDC

=

25

4

，
即S_△AEC：S_△BDC=

25

4

．

点评：考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．