Question

在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：△AEB≌△DEC；
（2）当EB=BC时，求∠AFD的度数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=CD，每一个角都是直角可得∠BAD=∠ADC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=EF=DE=

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DF，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，再求出∠BAE=∠CDE，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得EB=EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC=60°，然后求出∠ABE=30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD=∠BAE．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵点E为DF中点，
∴AE=EF=DE=

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DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠BAE=∠BAD-∠EAD，∠CDE=∠ADC-∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE，
在△AEB和△DEC中，

AB=CD ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；

（2）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC，
∵EB=BC，
∴EB=BC=EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∵EB=BC=AB，
∴∠BAE=

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（180°-30°）=75°，
又∵AE=EF，
∴∠AFD=∠BAE=75°．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角的余角相等的性质，等边三角形的判定与性质，难点在于（2）求出等边三角形．