Question

如图，将矩形ABCD向左绕点C推倒，恰好D落在BC上D′处，得到矩形A′B′C′D′，作CE⊥AA′交

AA′

于点F，交A′D′于点G，已知AB=3，BC=4．
（1）求EF的长；
（2）求GD′的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）连接AC、A′C，利用勾股定理列式求出AC，根据旋转的性质可得AC=A′C，∠ACA′=90°，判断出△ACA′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出CE，然后根据EF=CF-CE计算即可得解；
（2）求出△A′EG和△CD′G相似，根据相似三角形对应边成比例可得

EG

D′G

=

A′G

CG

=

A′E

CD′

=

5 2

6

，设EG=5

2

k，GD′=6k，表示出A′G、CG，再根据相似比列式求出k，然后求解即可．

解答：解：（1）如图，连接AC、A′C，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
由旋转的性质得，AC=CF=A′C=5，∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴CE=A′E=

2

2

A′C=5×

2

2

=

5 2

2

，
∴EF=CF-CE=5-

5 2

2

；

（2）∵∠A′G=∠CD′G=90°，∠A′GE=∠CGD′，
∴△A′EG∽△CD′G，
∴

EG

D′G

=

A′G

CG

=

A′E

CD′

=

5 2 2

3

=

5 2

6

，
设EG=5

2

k，GD′=6k，
则A′G=4-6k，CG=

5 2

2

-5

2

k，
∴

4-6k

5 2 2 -5 2 k

=

5 2

6

，
解得k=

1

14

，
所以，GD′=6×

1

14

=

3

7

．

点评：本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）利用相似比列出比例式．