Question

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=8，OB=6，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动，当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时，△APQ的面积为

9

2

？
（2）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在点E使得四边形PQBE为直角梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点F．当DF经过原点O时，写出t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）过Q作QR⊥x轴交x轴于点R，可用t表示出QR，进一步表示△APQ的面积，令其等于

9

2

可求出t，注意分点P由O向A运动和由A向O运动两种情况；
（2）分PE∥BQ和PQ∥PE两种情况，利用条件可以用t表示出相应线段的长度，再利用平行线分线段成比例的性质得到线段之间的比例关系求出t的值，进一步可求出E点的坐标；
（3）由条件可知DF为PQ的垂直平分线，由此可得到线段相等，用t表示出相应线段，求出t即可，注意也需要分点P由O向A运动和由A向O运动两种情况．

解答：解：（1）如图1，过Q作QR⊥x轴，交x轴于点R，则QR∥OB，由勾股定理可求得AB=10，

由平行线分线段成比例可得

QR

OB

=

AQ

AB

，即

QR

6

=

t

10

，解得QR=

3

5

t，
当0＜t＜8时，OP=AQ=t，则AP=8-t，此时S_△APQ=

1

2

AP•QR=

1

2

（8-t）×

3

5

t，
令

1

2

（8-t）×

3

5

t=

9

2

，解得t=3或t=5，
当8≤t＜10时，AP=t-8，AQ=t，同理可求得QR=

3

5

t，此时S_△APQ=

1

2

AP•QR=

1

2

（t-8）×

3

5

t，
令

1

2

（t-8）×

3

5

t=

9

2

，整理得：t²-8t-15=0解得t=4+

31

或t=4-

31

（小于0舍去），
综上可知当t的值为3或5或4+

31

时，△APQ的面积为

9

2

；

（2）存在，
由题意可知OP=AQ=t，AP=8-t．
当PE∥BQ，PQ⊥PE时，如图2，

在△EOP和△PQA中

∠EOP=∠PQA ∠EPO=∠PAQ OP=AQ

，
所以△EOP≌△PQA，
所以PE=AP=8-t，
又PE∥AB，
由平行线分线段成比例可得：

PE

AB

=

OP

OA

，
即

8-t

10

=

t

8

，解得t=

32

9

，则PE=8-t=

40

9

，
在Rt△POE中，由勾股定理可求得OE=

24

9

，即E点坐标为（0，

24

9

），
当PQ∥BE，PE⊥BE时，即E为原点，
PE=AQ=t，AP=8-t，则有

AP

OA

=

AQ

AB

，即

8-t

8

=

t

10

，解得t=

40

9

，符合题意，
此时点E的坐标为（0，0），
综上可知存在满足条件的E点，E点的坐标为（0，

24

9

）或（0，0）；

（3）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t，
可得∠QOA=∠QAO，
所以∠QOB=∠QBO，
所以OQ=BQ=t，
所以BQ=AQ=

1

2

AB，
即AB=2t，解得t=5，
②如图3，
当P由A向O运动时，过Q作QG⊥y轴交y轴于点G，

OQ=OP=16-t，BQ=10-t，
则

BQ

BA

=

GQ

OA

，即

10-t

10

=

GQ

8

，所以GQ=

4

5

（10-t），
同理可求得BG=

3

5

（10-t），所以GO=6-

3

5

（10-t），
在Rt△OGQ中，由勾股定理可得：OG²+GQ²=OQ²，
即[6-

3

5

（10-t）]²+[

4

5

（10-t）]²=（16-t）²，
解得t=10，
综上可知满足条件的t的值为5和10．

点评：本题主要考查一次函数及平行线分线段成比例的性质，把相应的线段用t表示出来利用平行或垂直或直角三角形中的勾股定理得到关于t的方程是解题的关键．