Question

对于0≤x≤100，用[x]表示不超过x的最大整数，则[x]+[

5

3

x]的不同取值的个数为

 

．

Answer 1

考点：取整计算

专题：分类讨论

分析：可先求出n≤

5x

3

＜n+1（n为整数，0≤n≤165）时对应的x的范围及相应的[x]+[

5

3

x]的值，再求出166≤

5x

3

≤

500

3

时[x]+[

5

3

x]的值，然后从中发现规律：0≤[x]+[

5

3

x]≤266，且[x]+[

5

3

x]≠8n-1（1≤n≤33，n为整数），由此就可求出[x]+[

5

3

x]的不同取值的个数．

解答：解：当0≤

5x

3

＜1时，0≤x＜

3

5

，则有[

5

3

x]+[x]=0+0=0；
当1≤

5x

3

＜2时，

3

5

≤x＜

6

5

，则有[

5

3

x]+[x]=1+0=1或1+1=2；
当2≤

5x

3

＜3时，

6

5

≤x＜

9

5

，则有[

5

3

x]+[x]=2+1=3；
当3≤

5x

3

＜4时，

9

5

≤x＜

12

5

，则有[

5

3

x]+[x]=3+1=4或3+2=5；
当4≤

5x

3

＜5时，

12

5

≤x＜3，则有[

5

3

x]+[x]=4+2=6；
当5≤

5x

3

＜6时，3≤x＜

18

5

，则有[

5

3

x]+[x]=5+3=8；
当6≤

5x

3

＜7时，

18

5

≤x＜

21

5

，则有[

5

3

x]+[x]=6+3=9或6+4=10；
当7≤

5x

3

＜8时，

21

5

≤x＜

24

5

，则有[

5

3

x]+[x]=7+4=11；
当8≤

5x

3

＜9时，

24

5

≤x＜

27

5

，则有[

5

3

x]+[x]=8+4=12或8+5=13；
当9≤

5x

3

＜10时，

27

5

≤x＜6，则有[

5

3

x]+[x]=9+5=14；
当10≤

5x

3

＜11时，6≤x＜

33

5

，则有[

5

3

x]+[x]=10+6=16；
当11≤

5x

3

＜12时，

33

5

≤x＜

36

5

，则有[

5

3

x]+[x]=11+6=17或11+7=18；
当12≤

5x

3

＜13时，

36

5

≤x＜

39

5

，则有[

5

3

x]+[x]=12+7=19；
当13≤

5x

3

＜14时，

39

5

≤x＜

42

5

，则有[

5

3

x]+[x]=13+7=20或13+8=21；
当14≤

5x

3

＜15时，

42

5

≤x＜9，则有[

5

3

x]+[x]=14+8=22；
当15≤

5x

3

＜16时，9≤x＜

48

5

，则有[

5

3

x]+[x]=15+9=24；
…
当164≤

5x

3

＜165时，

492

5

≤x＜99，则有[

5

3

x]+[x]=164+98=262；
当165≤

5x

3

＜166时，99≤x＜

498

5

，则有[

5

3

x]+[x]=165+99=264；
当166≤

5x

3

≤

500

3

时，

498

5

≤x≤100，则有[

5

3

x]+[x]=166+99=265或166+100=266．
由此可发现以下规律：0≤[x]+[

5

3

x]≤266，且[x]+[

5

3

x]≠8n-1（1≤n≤33，n为整数），
则[x]+[

5

3

x]的不同取值的个数为267-33=234（个）．
故答案为：234．

点评：本题主要是对取整计算进行考查，而解决本题的关键是对

5

3

x的范围进行合理分类，并从所得结果中发现取不到的正整数的规律．