Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，
（1）求EF的长．
（2）若点E以1个单位/秒的速度从点B向点A匀速运动，到点A停止运动，运动时间为t，其他条件不变，设在此运动过程中，由点A、E、F、C、D为顶点构成图形面积为S，求S与t的关系表达式．

Answer 1

考点：梯形

专题：

分析：（1）可过点D作DG⊥BC于点G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的长，进一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解这个三角形即可；
（2）过点A作AH∥CD交BC于点H，根据S=S_△ABH-S_△BEF+S_{平行四边形AHCD}即可得出结论．

解答：解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°．
∴四边形ABGD为矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45°．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E为AB中点，
∴BE=

1

2

AB=

3

2

．
∵EF∥DC，
∴∠EFB=45°．
在△BEF中，
∵∠B=90°．
∴EF=sin45°=

3

2

2

．

（2）如图2，过点A作AH∥CD交BC于点H，则S=S_△ABH-S_△BEF+S_{平行四边形AHCD}，
∵AD=1，AD∥BC，AH∥CD，
∴CH=AD=1．
∵由（1）知，AB=BH=3，BE=t，EF∥AH，
∴S=S_△ABH-S_△BEF+S_{平行四边形AHCD}
=

1

2

×3×3-

1

2

t²+1×3
=

15

2

-

1

2

t²．

点评：本题考查的是梯形，根据题意作出辅助线，构造出矩形及平行四边形是解答此题的关键．