Question

如图，已知直线l：y=-

1

2

x-1与x轴、y轴分别相交于点A、B，抛物线y=ax²+bx+c与y轴的负半轴交于点C，与直线l相交于点A、D，且sin∠ACB=

5

5

．
（1）求点C的坐标；
（2）若∠CDB=∠ACB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，当a＞0时，若点P是直线l下方的抛物线上一动点（不与A、D重合），过点P作PM⊥AD于点M，并设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据正弦函数，可得AC的长，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得CE的长，根据等角的三角函数值相等，可得CD的值，根据两点间的距离，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据点到直线的距离公式，可得用含m的代数式表示线段PM的长，根据负数越小绝对值越大，可得答案．

解答：解：如图：
（1）当y=0时，-

1

2

x-1=0，解得x=-2，即A（-2，0），
当x=0时，y=-1，即B（0，-1）．
sin∠ACB=

AO

AC

=

2

AC

=

5

5

，解得AC=2

5

，
由勾股定理，得
OC=

AC2-AO2

=

20-4

=4，
C点坐标是（0，-4）；

（2）作CE⊥AD，
S_△ABC=

1

2

AB•CE=S_△AOC-S_△AOB，

1

2

5

•CE=

1

2

×2×4-

1

2

×2×1，
解得CE=

6 5

5

．
由∠CDB=∠ACB，得
sin∠CDB=

CE

CD

=sin∠ACB=

5

5

，
解得CD=6．
设D点坐标是（x，-

1

2

x-1），
由CD=6，得
x²+（-

1

2

x-1+4²=6²，
解得x₁=-

18

5

（不符合题意的要舍去），x₂=6，
把x=6代入y=-

1

2

x-1，得y=-4，即D（6，-4）．
当A（-2，0），C（0，-4），D（6，-4）在函数图象上，
得

4a-2b=4 36a+6b=4 c=-4

，解得

a= 1 3 b=-2 c=-4

，
抛物线的解析式为y=

1

3

x²-2x-4；

（3）设P点坐标为（m，

1

3

m²-2m-4），由点到直线的距离公式，得
PM=

| 1 2 m+ 1 3 m2-2m-4+1|

( 1 2 )2+12

=

2| 1 3 m2- 3 2 m-3|

5

=||

2

3

m2-3m-6|×

5

5

，
PM_最大=|

2

3

×（

3

4

）²-

3

2

×

3

4

-3|×

5

5

=

225

16

．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了三角函数，勾股定理，（2）利用了等角三角函数的关系，利用了待定系数法求解析式，（3）利用了点到直线的距离公式．