Question

【题目】如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点（不与点、重合）．

（1）当圆心在内部，∠ABO＋∠ADO=70°时，求∠BOD的度数；

（2）当点A在优弧BD上运动，四边形为平行四边形时，探究与的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）当点A在优弧BD上运动，四边形为平行四边形时，点O在∠BAD内部时，+=60°；点O在∠BAD外部时，|-|=60°．

【解析】

（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=140°；

（2）分点O在∠BAD内部和外部两种情形分类讨论：

①当点O在∠BAD内部时，

首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据平行四边形的性质，求出∠OBC、∠ODC的度数，再根据∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

②当点O在∠BAD外部时：

Ⅰ、首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠OBA=∠ODA+60°即可．

Ⅱ、首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠ODA=∠OBA+60°即可．

（1）连接OA，如图1，

∵OA=OB，OA=OD，

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，

∴∠BOD=2∠BAD=140°；

（2）①如图2，

，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）

=180°-（60°+60°）

=180°-120°

=60°

②Ⅰ、如图3，

，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA-∠ODA=60°．

Ⅱ、如图4，

，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠ODA-60°，

即∠ODA-∠OBA=60°．

所以，当点A在优弧BD上运动，四边形为平行四边形时，点O在∠BAD内部时，+=60°；点O在∠BAD外部时，|-|=60°．