Question

【题目】（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN．

（不写作法，但保留作图痕迹）

Answer 1

【答案】（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析

【解析】

（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.

解：（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC

∵AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON⊥CD

∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=,CN，

∴AM=CN

又∵OA=OC

∴△AOM≌△CON

∴ON=OM

∴CD与小圆O相切

（2）如图FH即为所求