[题目]如图.中....点为射线上的动点.以为边.在的同侧作菱形.使得．若菱形的边经过线段的中点．(1)将菱形沿射线向右平移.记平移中的菱形菱形.当点与点重合时停止平移．设平移的距离为.是否存在这样的.使△BDE是等腰三角形?若存在.求出的值,若不存在.请说明理由．(2)在(1)问的平移过程中.设菱形与重叠部分的面积为.请直接写出与之间的函数关系式以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，中，，，，点为射线上的动点，以为边，在的同侧作菱形，使得．若菱形的边经过线段的中点．

（1）将菱形沿射线向右平移，记平移中的菱形菱形，当点与点重合时停止平移．设平移的距离为，是否存在这样的，使△BDE是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（2）在（1）问的平移过程中，设菱形与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．

【答案】（1）存在；当，或时，△BDE是等腰三角形；（2）S与t的关系式为：；

【解析】

（1）根据题意，由菱形的性质，解直角三角形求出OG，CF的长度，以及求出所需的线段长度，由△BDE是等腰三角形，可分为三种情况：①当DE=EB时；②当BD=BE时；③当BD=DE时；分别求出t的值，即可得到答案；

（2）根据菱形的运动情况，可分为三种情况：①当时；②当时；③当时；分别讨论出重合的面积的计算方法，然后求出S与t的关系式，即可得到答案.

解：中，，，，

∴由勾股定理，得，

∵点O是AB的中点，则BO=AO=20，

如图，过F作FH⊥BC，OG⊥BC，则四边形HGOF是矩形，

∴FH=OG，FO=HG，

∵点O是AB的中点，OG∥AC，

∴OG=，CG=BG=16，

在Rt△CHF中，有

，

∴CH=9，

∴，

∴HG=OF=16-9=7，

∴OE=15-7=8；

当点F与点O重合时，向右平移了7个单位，即t=7；

∴，，，

∵，

∴，即；

要使△BDE是等腰三角形，则可分为以下几种情况：

①当DE=EB时，如图：作EI⊥BC于点I，

∵DE=15，EI=12，由勾股定理得：

，

∴BD=18，

∴（不符合题意，舍去）；

②当BD=BE时，如图：

∵DE⊥AB，

∴DJ=EJ=，

∵,

∴，

∴；

③当BD=DE=15时，△BDE是等腰三角形，

则；

当点与点B重合时，BD=DE=15，

此时；

∴当，或时，△BDE是等腰三角形；

（2）根据题意，

∵，；

平移过程中可分成三种情况：

①当时，如图：

∴OE=8+t，

∴，，

∴重合部分的面积为：

；

②当时，如图：

∴，，

∴，,，,

∴，

∴；

③当时，如图：

此时重合部分的面积为三角形，

∴，

∴，，

∴；

综合上述可知，S与t的关系式为：；

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