Question

如图，已知菱形ABCD外切于圆O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线．求证：AM•CN为定值．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的性质

专题：证明题

分析：先由菱形性质得出∠OAM=∠NCO，再根据切线长定理和三角形内角和求出∠AOM=∠CNO，证出△AOM∽△CNO，得出比例式

AM

CO

=

AO

CN

，证出AM•CN=2AO²为定值．

解答：证明：连接OM、ON；如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，∠OAM=

1

2

∠BAD，∠NCO=

1

2

∠BCD，
∴∠OAM=∠NCO，
∴∠1+∠2=∠3+∠4①，
∵⊙O是菱形ABCD的内切圆，MN是⊙O的切线，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵∠1+∠3+∠MON=180°，∠5+∠6+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=∠5+∠6，
∴∠1+∠3=∠2+∠4②，
①+②得：2∠1=2∠4，
∴∠1=∠4，
∴△AOM∽△CNO，
∴

AM

CO

=

AO

CN

，
∴AM•CN=AO•CO=2AO²为定值．

点评：本题考查了菱形的性质、切线的性质以及相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．