【题目】已知:关于x的一元二次方程ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2).若y是关于a的函数,且y=ax2x1,求这个函数的表达式;
(3)将(2)中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象直接写出:当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围是 .
【答案】(1)见解析;(2)y=a﹣3(a>0);(3)﹣11<b<﹣5
【解析】
(1)根据一元二次方程的根的判别式判断即可;
(2)先根据一元二次方程的求根公式得出x1,x2,即可得出函数函数关系式;
(3)画出新函数的图形和直线y=2a+b,利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论.
(1)证明:∵ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0)是关于x的一元二次方程,
∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣2)=4>0,
∴方程ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0)有两个不相等的实数根.
(2)解:由求根公式,得x=.
∴x=1或x=1﹣.
∵a>0,x1>x2,
∴x1=1,x2=1﹣,
∴y=ax2x1=a×(1﹣)﹣1=a﹣3.
即函数的表达式y=a﹣3(a>0),
(3)解:如图,直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点,再向下平移,就和这些CBA有两个公共点,
继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点,再向下平移和这些CBA也只有一个公共点,
由(2)知,函数的表达式y=a﹣3(a>0),
当a=2时,y=2﹣3=﹣1,
∴B(2,﹣1),
由折叠得,C(4,﹣3),
当函数y=2a+b的图象过点B时,
∴﹣1=2×2+b,
∴b=﹣5,
当函数y=2a+b的图象过点C时,
∴﹣3=2×4+b,
∴b=﹣11,
∴﹣11<b<﹣5.
故答案为:﹣11<b<﹣5.
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【题目】如图,动点从出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点第次碰到矩形的边时,点的坐标为( )
A. (0,3) B. (5,0) C. (1,4) D. (8,3)
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【题目】如图,.现点绕着点以每秒的速度顺时针旋转一周后停止.则(1)点旋转一周所用的时间是______秒;(2)同时点沿线段自点向点运动,假若点、也能相遇,则点的速度是______.
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【题目】以下是八(1)班学生身高的统计表和扇形统计图,请回答以下问题.
八(1)班学生身高统计表
组别 | 身高(单位:米) | 人数 |
第一组 | 1.85以上 | 1 |
第二组 | ||
第三组 | 19 | |
第四组 | ||
第五组 | 1.55以下 | 8 |
(1)求出统计表和统计图缺的数据.
(2)八(1)班学生身高这组数据的中位数落在第几组?
(3)如果现在八(1)班学生的平均身高是1.63 ,已确定新学期班级转来两名新同学,新同学的身高分别是1.54 和1.77 ,那么这组新数据的中位数落在第几组?
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【题目】设C为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心,BD长为半径的⊙B与AB相交于F点,延长EB交⊙B于G点,连接DG交于AB于Q点,连接AD.
求证:(1)AD是⊙B的切线;(2)AD=AQ;(3)BC2=CFEG.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且∠PAC+∠PCA=,连接PB,试探究PA、PB、PC满足的等量关系.
(1)当α=60°时,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′,连接PP′,如图1所示.由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度,进而得到△CPP′是直角三角形,这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ;
(2)如图2,当α=120°时,参考(1)中的方法,探究PA、PB、PC满足的等量关系,并给出证明;
(3)PA、PB、PC满足的等量关系为 .
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【题目】如图所示,A(﹣,0)、B(0,1)分别为x轴、y轴上的点,△ABC为等边三角形,点P(3,a)在第一象限内,且满足2S△ABP=S△ABC,则a的值为( )
A.B.C.D.2
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【题目】某商场销售一批进价为10元的新商品,为寻求合适的销售价格,他们进行了4天的试销,试销情况如下表:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
日销售单价x(元) | 20 | 30 | 40 | 50 |
日销售量y(个) | 300 | 200 | 150 | 120 |
(1)根据试销情况,请你猜测并求出y与x之间的函数关系式;
(2)若该商场计划每天销售这种商品的利润要达到3600元,问该商品销售单价应定为多少元?
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【题目】在正方形网格中,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标(4,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1、B1、C1的坐标;
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并求出点A到A2的路径长.
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