课外活动小组活动时.陈老师提出了如下问题:已知:如图1.在△ABC中.∠ABC=∠ACB=α.点D是AB边上任意一点.将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．当α=60°时.请判断线段BD与AE之间的数量关系．小明在小组内经过合作交流.得到了如下的解决方法:过D点作AC的平行线交BC于F.构造全等三角形.通过推理使得问� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．课外活动小组活动时，陈老师提出了如下问题：
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．当α=60°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系．
小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使得问题得解．
（1）写出原问题BD与AE之间的数量关系，并写出证明过程；
（2）如图2，在原问题条件下当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，在原问题条件下当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：BD=2cosα•AE．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

分析（1）连接EC，当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，EC=DC，AC=BC，根据等量减等量求得∠BCD=∠ACE，可得△BDC≌△ACE，答案可证．
（2）过点D作DF∥AC，交BC于F，可证得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=$\sqrt{2}$BF，再证明△ADE∽△FCD，得：$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$，由DF∥AC，得：$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$，可得到$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，继而得到答案．
（3）由连结EC，可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα•AE．

解答解：（1）结论：BD=AE；
理由：如图12，连接EC，AC交DE于F，当α=60°时，△ABC
∵AE∥BC，
∴○EAF=○ACB=○FDC=60°，∵∠AFE=∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{EF}{CF}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{CF}$，∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴∠DAF=∠FEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC=DC，AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．

（2）BD=$\sqrt{2}$AE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∵DF∥AC，
∴$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$AE．
（3）补全图形如图3，连接EC，由AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，
∴BD=2cosα•AE．
故答案为BD=2cosα•AE．

点评本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形相似的判定与性质的综合应用，在解答本题时要注意类比思想的应用，正确绘图也是解题的关键．

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