Question

8．若a、b、c、d是四个正数，且abcd=1，求$\frac{a}{abc+ab+a+1}$+$\frac{b}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{c}{cda+cd+c+1}$+$\frac{d}{bad+da+d+1}$的值．

Answer 1

分析 把第1个和第2个分式的分子除1，分母除以abcd，变形后进行同分母的加法运算，再利用同样方法进行变形得到同分母，然后同分母的加法运算，最后约分即可．

解答 解：原式=$\frac{a}{\frac{1}{d}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bcd}+\frac{bcd}{bcd}}$+$\frac{b}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{dab}+\frac{dab}{dab}}$+$\frac{d}{bad+da+d+1}$
=$\frac{a}{\frac{bcd+bc+b+1}{bc}}$+$\frac{b}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{c}{\frac{dab+da+d+1}{dab}}$+$\frac{d}{bad+da+d+1}$
=$\frac{abcd}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{b}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{abcd}{dab+da+d+1}$+$\frac{d}{dab+da+d+1}$
=$\frac{b+1}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{1+d}{dab+da+d+1}$
=$\frac{b+1}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{1+d}{\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{bcd}{bc}+\frac{bc}{bc}}$
=$\frac{b+1}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{1+d}{\frac{bcd+bc+b+1}{bc}}$
=$\frac{b+1}{bcd+bc+b+1}$+$\frac{bc+bcd}{bcd+bc+b+1}$
=$\frac{1+b+bc+bcd}{bcd+bc+b+1}$
=1．

点评 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．解决本题的关键是运用分式的基本性质把分母化为同分母的分式．解决本题的关键是把abcd=1进行互换，把分母化为同分母．