[题目]已知:△ABC是等腰三角形.动点P在斜边AB所在的直线上.以PC为直角边作等腰三角形PCQ.其中∠PCQ=90°.探究并解决下列问题:(1)如图①.若点P在线段AB上.且AC=1+.PA=.则:①线段PB= .PC= ,②猜想:PA2.PB2.PQ2三者之间的数量关系为 ,(2)如图②.若点P在AB的延长线上.在(1)中所猜想的结论仍然成立.请你利用图②给出证明过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：

①线段PB= ，PC= ；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

【答案】（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或．

【解析】

试题

（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；

②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；

（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成立；

（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；

试题解析：

（1）如图①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，

∴AB=，

∵PA=，

∴PB=AB-PA=.

∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ为直角三角形．

∴PQ=．

∴PC=PQ=2．

故答案为：，2；

②如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：

由①中证明可知：△APC≌△BQC，

∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，

又∵∠CBA=45°，

∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，

∴BQ2+PB2=PQ2，

∴PA2+PB2=PQ2.

（2）如图②：连接BQ，

∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．

又∵∠ABC=45°，

∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，

∴∠PBQ=90°，

∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，

∴PA2+PB2=PQ2.

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；设AB=，则AD=BD=CD=，

①当点P位于点A、D之间的点P1处时．

∵，

∴P1A=AB=DC= ，

∴P1D=AD=，

在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，

∴；

②当点P位于点A和点B的同侧的点P2处时．

∵，

∴P2A=AB=AD=．

∴P2D=P2A+AD=，

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，

∴；

综上所述，的比值为或．

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