Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ²=CP²-CQ²，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．

解答：解：连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，
根据勾股定理得：PQ²=CP²-CQ²，
∴当PC⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=2

3

，
∴CP=

AC•BC

AB

=

2 3 ×2

4

=

3

，
∴PQ=

CP2-CQ2

=

3-1

=

2

，
∴PQ的最小值是

2

；
故答案为：

2

．

点评：本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．