Question

【题目】如图，在中，，点在边上，，点在边上，，点为上一点，，若，，则的长为___________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

过点F作FG⊥FD交AB于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=x，根据等对等角可推出2α＋2β=90°，从而证出∠FGD=∠B，然后等角的正弦值相等即可求出DG=，从而求出AG，再根据等角对等边可得GF=AG，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论．

解：过点F作FG⊥FD交AB于点G

设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=x

则∠ADF=2α，∠B=2β，AC=AD=x，AB=AD＋BD=x＋1

∴∠ADC=∠ACD=∠ACB－∠BCD=90°－α

∵∠ADC=∠BCD＋∠B

∴90°－α=α＋2β

整理可得：2α＋2β=90°

在Rt△DFG中，∠FGD=90°－∠FDG=90°－2α=2β

即∠FGD=∠B

∵sin∠B=，sin∠FGD=

∴

解得：DG=

∴AG=AD－DG=

∵∠FGD=2β，∠BAE=β

∴∠GFA=∠FGD－∠BAE=β=∠BAE

∴GF=AG

在Rt△DFG中，GF2＋DF2=DG2

即AG2＋4=（x－AG）2

整理，得x2－2x·AG=4

∴x2－2x·=4

整理，得x2－4x=0

解得：x1=4，x2=0（不符合实际，舍去）

即AD=4

故答案为：4．