Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．

（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN是⊙O切线．

理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO= OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC= ．
【解析】（1）MN是⊙O切线 ，理由如下：连接OC，根据等边对等角得出∠OAC=∠OCA，根据三角形的外角定理得出∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A ，又因∠BCM=2∠A，从而得出∠BCM=∠BOC，根据直角三角形两锐角互余得出∠BOC+∠BCO=90°，根据等量代换得出∠BCM+∠BCO=90°，从而得出OC⊥MN，MN是⊙O切线 ；
(2）根据邻补角的定义得出∠AOC=120°，根据含30角的直角三角形边之间的关系得出OB的长，进而根据勾股定理得出BC的长，然后利用S阴=S扇形OAC﹣S△OAC ，算出答案。