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【题目】1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b

①填空:当点A位于   时,线段AC的长取得最大值,且最大值为   (用含ab的式子表示)

2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=3AB=1,如图2所示,分别以ABAC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CDBE

①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;

②直接写出线段BE长的最大值.

【答案】1CB的延长线上,a+b;(2CD=BE.理由见解析;②线段BE长的最大值为4.理由见解析.

【解析】试题分析:1)根据点A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b,可得当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b

2①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE,可得CAD≌△EABSAS),根据全等三角形的性质可得CD=BE

②根据全等三角形的性质可得,线段BE长的最大值=线段CD长的最大值,而当线段CD的长取得最大值时,点DCB的延长线上,此时CD=3+1=4,可得BE=4

试题解析:(1)如图1

∵点A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b

∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b

2CD=BE

理由:如图2

∵三角形ABD和三角形ACE是等边三角形

AD=ABAC=AEBAD=CAE=60°

∴∠BAD+BAC=CAE+BAC

即∠CAD=EAB

CADEAB中,

∴△CAD≌△EABSAS),

CD=BE

②线段BE长的最大值为4

理由:∵线段BE长的最大值=线段CD长的最大值,

∴当线段CD的长取得最大值时,点DCB的延长线上,

此时CD=3+1=4

BE=4

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