Question

20．已知a，b是方程x²-x-3=0的两个根，求代数式2a³+b²+3a²-11a-b+5的值．

Answer 1

分析 根据一元二次方程解的定义得到a²-a-3=0，b²-b-3=0，即a²=a+3，b²=b+3，则2a³+b²+3a²-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a²-2a+12，然后再把a²=a+3代入后合并即可．

解答 解：∵a，b是方程x²-x-3=0的两个根，
∴a²-a-3=0，b²-b-3=0，即a²=a+3，b²=b+3，
∴2a³+b²+3a²-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5
=2a²-2a+17
=2（a+3）-2a+17
=2a+6-2a+17
=23．

点评 本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，也考查了一元二次方程解的定义．