Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），下列结论中，正确的是

 

．
①a-b+c＞0；②2a+b＜0；③3a+c=0；④4ac-b²＜0；⑤5a+2b+c＜0．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），则x=0时，y=0，即a-b+c=0，于是可对①进行判断；
利用抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，则2a+b=0，于是可对②进行判断；
把b=-2a代入a-b+c=0得3a+c=0，则可对③进行判断；
根据抛物线与x轴有2个交点得到b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0，则可对④进行判断；
把b=-2a，c=-3a代入5a+2b+c得到-2a，由于a＜0，所以5a+2b+c＜0，于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴x=0时，y=0，即a-b+c=0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，所以②错误；
∵b=-2a，a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，所以③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0，所以④正确；
∵b=-2a，c=-3a，
∴5a+2b+c=5a-4a-3a=-2a，
而a＜0，
∴5a+2b+c＜0，所以⑤正确．
故答案为③④⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．