Question

19．方程2x²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则（1）2x²+bx+c可分解为2（x-x₁）（x-x₂），（2）2x²-bx+c可分解为2（x+x₁）（x+x₂）．

Answer 1

分析 根据因式分解法，可写出以x₁和x₂为根的一元二次方程为2（x-x₁）（x-x₂）=0，原式得到2x²+bx+c=2（x-x₁）（x-x₂）；
根据根数系数的关系得x₁+x₂=-$\frac{b}{2}$、x₁x₂=$\frac{c}{2}$即b=-2（x₁+x₂）、c=2x₁x₂，代入多项式分解可得．

解答 解：∵方程2x²+bx+c=0的两个根分别是x₁，x₂，
∴方程可写成2（x-x₁）（x-x₂）=0，
∴2x²+bx+c可分解为2（x-x₁）（x-x₂）；
∵方程2x²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{2}$，x₁x₂=$\frac{c}{2}$，
∴b=-2（x₁+x₂），c=2x₁x₂，
则2x²-bx+c=2x²+2（x₁+x₂）x+2x₁x₂=2[x²+（x₁+x₂）x+x₁x₂]=2（x+x₁）（x+x₂），
故答案为：（1）2（x-x₁）（x-x₂）；（2）2（x+x₁）（x+x₂）．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，解题的关键是熟练应用二次三项式的因式分解法和根与系数的关系．