Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交CD、AC分别于G、E，GF∥AC交AB于F．
（1）求证：△FBG≌△CBG；
（2）猜想：EF与AB有怎样的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠A=∠BCD，由平行线的性质得到∠GFD=∠A，等量代换得到∠BCD=∠GFD，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BF=BC，证得△CBE≌△BFE，根据全等三角形的性质得到∠EFB=∠ECB=90°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠BCD，
∵GF∥AB，
∴∠GFD=∠A，
∴∠BCD=∠GFD，
在△BFG与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠GFD}\\{∠CBE=∠FBE}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BCG，

（2）∵△BFG≌△BCG，
∴BF=BC，
在△CBE与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BF}\\{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△BFE，
∴∠EFB=∠ECB=90°，
∴EF⊥AB．

点评 本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．