Question

1．已知x，y，z为实数，且满足x+2y-z=6，x-2y+2z=3，则x²+y²+z²的最小值为$\frac{558}{29}$．

Answer 1

分析 根据已知求得z与x、y与x的关系式，代入x²+y²+z²得到此代数式关于x的函数关系式，化成函数的顶点式即可求得最小值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=6①}\\{x-2y+2z=3②}\end{array}\right.$可知：
①+②求得z=9-2x，
①×2+②求得y=$\frac{1}{2}$（15-3x），
则x²+y²+z²=x²+[$\frac{1}{2}$（15-3x）]²+（9-2x）²=$\frac{29}{4}$x²-$\frac{117}{2}$x+$\frac{549}{4}$，
所以x²+y²+z²的最小值为$\frac{4×\frac{29}{4}×\frac{549}{4}-（{\frac{117}{2}）}^{2}}{4×\frac{29}{4}}$=$\frac{558}{29}$，
故答案为$\frac{558}{29}$．

点评 本题考查了二次函数的最值，表示代数式的值化成关于x的函数解析式是解题的关键．