分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点的坐标；
（2）根据图形割补法，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最值，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标；
（3）分类讨论：①AP为平行四边形的边，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得Q点坐标；
②AP为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
将C点坐标代入，得a+4=3．
解得a=-1，
抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）如图1
，作FM⊥x轴交BC于P点，
BC的解析式为y=-x+3，P（m，-m+3），
F在抛物线上，设F（m，-m2+2m+3），
PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，
S=S△BCF=S△BPF+SCFP
=$\frac{1}{2}$PF•OM+$\frac{1}{2}$PF•BM
=$\frac{1}{2}$（-m2+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{2}$m，
当m=$\frac{3}{2}$时，S最大=$\frac{27}{8}$；
当m=$\frac{3}{2}$时，-m2+2m+3=-$\frac{9}{4}$+3+3=$\frac{15}{4}$，
即F（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（2）①如图2
，当AP是平行四边形的边时，CQ∥AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q1的坐标为（2，3）．
②如图3
，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．
解方程-x2+2x+3=-3，得$x=1±\sqrt{7}$．所以点Q2的坐标为（$1+\sqrt{7}，-3$）或Q3 （$1-\sqrt{7}，-3$）．
综上所述：Q1（2，3），Q2（$1+\sqrt{7}，-3$），Q3（$1-\sqrt{7}，-3$）；
点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；自变量与函数值的对应关系求图象与x轴的交点；利用图形割补法是求三角形面积的关键；利用平行四边形的性质得出关于Q点的横坐标的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
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如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠B的值为$\frac{5}{4}$．