Question

【题目】如图，在中，是边上的点，连接，于点，，，，，连接，则线段的长为____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点A、E分别作AF⊥CD，EH⊥CD，垂足分别为点F、H，先根据证得AD＝CD，进而可证得△ADF≌△CDE，得AF＝CE，DF＝DE＝3，再根据，设AF＝CE＝2x，则AB＝x，利用勾股定理BF＝3x，进而可表示出BD＝3x－3，AE＝2x－2，AD＝2x＋1，再根据勾股定理列出方程求得x的值，最后再证明△DEH∽△DAF，进而可根据相似三角形的性质得到DH和EH的长，进而可求得BE的长．

解：如图，过点A、E分别作AF⊥CD，EH⊥CD，垂足分别为点F、H，

∵，

∴，

∵CE⊥AD，AF⊥CD，

∴∠AEC＝∠CED＝∠AFD＝90°，

∴，

∴，

即∠ACB＝∠DAC，

∴AD＝CD，

∴在△ADF与△CDE中，

∴△ADF≌△CDE（AAS）

∴AF＝CE，DF＝DE＝3，

∵，

∴设AF＝CE＝2x，则AB＝x，

在Rt△ABF中，BF＝，

∴BD＝BF－DF＝3x－3，

∵，

∴，

∴AD＝AE＋DE＝2x－2＋3＝2x＋1，

在Rt△ADF中，，

∴，

解得：x＝2，

∴AF＝CE＝2x＝4，AD＝2x＋1＝5，BD＝3x－3＝3，

∵AF⊥CD，EH⊥CD，

∴AF∥EH，

∴△DEH∽△DAF，

∴，

∴，

解得：，，

∴，

在Rt△BHE中，，

故答案为：．